Théorème de la divergence

Extrait.

En analyse vectorielle, le théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski, théorème de flux-divergence ou théorème de Gauss-Ostrogradski), affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface). L'égalité est la suivante : ∫ ∫ ∫ V ∇ → ⋅ F → d V = ∫ ⊂ ⊃ ∫ ∂ V F → ⋅ d S → {\displaystyle \int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}{\overrightarrow {F}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}} où : V {\displaystyle {\mathcal {V}}\,} est le volume ; ∂ V {\displaystyle \partial {\mathcal {V}}\,} est la frontière de V {\displaystyle {\mathcal {V}}} d S → {\displaystyle {\rm {d}}{\overrightarrow {S}}} est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l'extérieur et de norme égale à l'élément de surface qu'il représente F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} est continûment dérivable en tout point de V {\displaystyle {\mathcal {V}}} ; ∇ → {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}} est l'opérateur nabla ; ∇ → ⋅ F → = d i v F → {\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \ {\overrightarrow {F}}} (valable uniquement en coordonnées cartésiennes).