Intégrale de Dirichlet

Extrait.

L’intégrale de Dirichlet est l’intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs ∫ 0 + ∞ sin ⁡ x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,{\textrm {d}}x={\frac {\pi }{2}}} . Il s’agit d’une intégrale impropre semi-convergente, c’est-à-dire qu’elle n’est pas absolument convergente ( ∫ 0 + ∞ | sin ⁡ x | x d x = + ∞ ) {\displaystyle \left(\int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin x|}{x}}\,{\textrm {d}}x=+\infty \right)} mais lim a → + ∞ ∫ 0 a sin ⁡ x x d x {\displaystyle \lim _{a\to +\infty }\int _{0}^{a}{\frac {\sin x}{x}}~{\rm {d}}x} existe et est finie.