Théorème de Cauchy (groupes)

Extrait.

En mathématiques, spécifiquement en théorie des groupes, le théorème de Cauchy, nommé en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy, qui l'a découvert en 1845, est un théorème affirmant que si G {\displaystyle G} est un groupe fini dont l'ordre est divisé par un nombre premier p, alors G {\displaystyle G} contient un élément d'ordre p {\displaystyle p} . C'est-à-dire qu'il existe un élément x {\displaystyle x} dans G {\displaystyle G} tel que p {\displaystyle p} est le plus petit entier positif satisfaisant x p = e {\displaystyle x^{p}=e} , où e {\displaystyle e} désigne l'élément neutre du groupe ; formellement : ∃ x ∈ G , p = min ( { n ∈ N ∖ { 0 } | x n = e } ) {\displaystyle \exists x\in G,\ p=\min(\{n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}|x^{n}=e\})} .