Transformation de Möbius

Extrait.

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d’Alexandrov de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} noté R n ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}} , définies comme la composée d’un nombre fini d’inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères. En particulier, si on identifie R 2 ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2}}}} à la sphère de Riemann C ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}} , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l’orientation sont de la forme : M  : z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle M:z\mapsto {az+b \over cz+d}} avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0, la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si z = ∞ ou si cz + d = 0 : si c ≠ 0 , M ( − d / c ) = ∞ et M ( ∞ ) = a / c  ; si c = 0 , M ( ∞ ) = ∞ .